摘要

很多学生、家长、老师的想法是只有一部分学生能在数学上做得很好。数学是一种天赋，有些学生有，有些学生没有，这是数学教育中最具破坏性的观念之一，也是影响学生发展数学水平的最具破坏性的观念之一。斯坦福大学数学教育教授Jo Boaler首席执行官优克的总结中有五个重要的知识领域，这些知识来自于对大脑和学习的研究，对于教授数学和释放儿童数学潜能具有重要意义，也给我的教学带来启发，并在教学中进行实践。

关键词:潜能 思维模式 认知冲突 压力 反馈

Abstract

Many students, parents and teachers think that only some students can do well in mathematics. Mathematics is a gift, some students have, some students do not, this is one of the most destructive ideas in mathematics education, but also one of the most destructive ideas that affect the development of students' mathematical level. Jo Boaler, Professor of Mathematics Education, Stanford University，summed up five important areas of knowledge from the study of the brain and learning. It is of great significance to teach mathematics and unlock children's mathematical potential, and also brings inspiration to my teaching and practice in teaching.

Key words:Potential   Mindset   Pressure   Feedback

一、所有学生都能达到较高的水平

（一）三项研究在改变科学家对“能力”和学习潜力的理解方面尤为重要:

1.伦敦的出租车司机必须参加2小时-4年的课程，才有资格在伦敦市中心的任何地方驾驶黑色出租车。这些司机们要学习涉及大伦敦地区的20000条街道和25000个地标的路线。科学家们发现，在训练结束时，黑色出租车司机的海马体（大脑中专门获取和使用复杂空间信息的区域）明显变大了。当出租车司机退休后，他们的海马体缩小到原来的大小。

2.2007年，一名女孩因无法控制的痉挛而被切除了半个大脑。医生预计她会瘫痪多年，因为大脑控制身体运动。但她在短短几个月内就恢复了功能，这让医生们感到震惊。她重新建立了她所需要的大脑活动的联系，这一时间比任何人想象的都要快。

3.也许对教育工作者来说最重要的是由国家精神研究所进行的一项研究，在这项研究中，研究人员对参与者进行了为期三周的训练计划，同时监测大脑扫描。这个短时间的训练改变了参与者的大脑结构。

（二）启示与实践

这三项研究和其他研究表明，学生的大脑可以适应和成长，以回应任何学习机会，人们应该摒弃一些学生没有能力学习高水平的数学的想法。一个每周三小时的项目能改变大脑结构，试想一下在一年的数学课上又可以做些什么和发生什么呢？

数百年来，西方的教育实践一直以学生的能力为基础, 通常被称为高、中、低能力，很多学校按能力给学生分组。但几十年的研究表明，在异质班级中的学生的数学水平更高[1]，而且当所有不同能力水平的学生都有所提高时，这种做法仍在继续[2]。

在我们所教的学生中，有些学生能快速掌握数学，或者有些学生似乎很容易掌握数学，这是因为他们在童年时期有多次机会建立大脑联系。仍在努力挣扎的学生并不是没有潜力，而是他们没有那些学生得到的机会。那么让数学水平弱的学生在学校获得能够促进他们提升到更高数学水平的机会和鼓励就非常重要了。这些机会并不是意味着给他们低级别的任务或将他们安排到低级别的分组或群体中，而是给他们具有挑战性的任务，以及关于努力学习带来的高成就感和每个人不断实现潜能的反馈和信息。

我发现当我要自然分组时，学生们会很一致的分为两类分组，一类是具有较高数学水平的学生，另一类是数学水平较弱的学生，原因在于他们谁都不想被拖累以及本能的相互认同带来的归属感。这样的分组基本就是按能力进行的同质分组了，无疑，这对于整个班级的数学学习是不利的。老师需要应用各种策略打破这样的局面，例如利用多元智能进行分组，使小组由不同智能层面的学生组成，使不同水平学生的能力得到发展；利用兴趣分组，让水平不同但兴趣一致的学生在一起学习，营造愉悦、和谐的小组探究氛围；利用同心圆分组，使每个学生都能接触到其他不同水平的学生，从而接收到不同的信息，拓展学生思维；利用颜色分组、指南针分组、时钟伙伴分组等都可以创造让不同水平的学生在一起相互学习的机会。经实践发现，老师尽可能的实现异质分组有利于班级整体数学水平的提升，尤其是能够让数学水平较弱的学生放下“我很弱”、“我数学不好”的思想包袱，从而发现自己在数学学习中擅长的一面以及在小组探究中贡献的价值。

二.学生的思维模式决定了他们的学习途径和数学水平

（一）两种思维模式

2006年，卡罗尔·德威克（Carol Dweck）出版了一本书，总结了几十年来对心态的研究成果，这本书很快成为了《纽约时报》的畅销书。这项研究表明，每个人都有一个关于“能力想法”的心态。有些人具有成长型心态，而有些人则具有固定型心态。那些有成长型心态的人相信，聪明会随着努力工作而增加，他们所学的一切都会让他们变得更聪明。那些有固定型思维模式的人认为有些人聪明，有些人不聪明。

与这些不同的心态相关的行为对学习和成就有巨大的影响。成长型心态的学生在探索问题上坚持得更久，喜欢挑战，从错误中学习，而那些固定型心态的学生则容易放弃，回避具有挑战性的问题，讨厌犯错误。以下两幅图是两种思维模式的对比。（图1.1）

图1.1 两种思维模式的对比

大脑的构造和神经之间的联系可以通过经验、学习、和记忆来改变，我们把它叫做“Neuroplasticity（神经可塑性）”。当学生具有成长型心态时，他们会达到更高的水平，当固定型心态的学生接受心态干预时，他们的学习轨迹会立即加速上升，取得越来越高的成绩[3]。教师和学生要培养成长型心态并且可以在生活中的任何时开始，学校向学生传达成长型心态信息是极其重要的，这对所有处于不同数学水平层次的学生都很重要，它可能是释放学生数学潜力的关键。

（二）培养学生具有成长型思维

在教室里，我们可以张贴有关成长型心态的醒目的海报（见图1.2）或给学生观看有关成长型思维模式的视频，给学生积极的暗示，并不断提示和引导学生实践。在教学中让学生习惯性使用成长型语言自我暗示和驱动行为，意识到数学学习水平也是随着时间而变化的，而当前的挫折和失败只是学习曲线中会经历的正常过程而已。同时，教师也可以通过在学生的作业、作品和各种展示活动中给予成长型思维的批语、评价和反馈，以及设置自我评估单时让学生总结和看到自己的学习的进步，例如图1.3。

图1.2 成长型思维暗示

图1.3 自我评价—遥控器反思

一旦学生以成长型心态学习数学，那么学生就会拥抱学习和成长，理解努力对智力成长的作用，拥有面对挫折的良好适应能力。

三．错误和认知冲突对学习极其重要

（一）犯错误与认知冲对数学学习的作用

教育家们早就知道，经历过认知冲突的学生的学习会更深入和深刻，与新的想法或概念作斗争对学习很有成效。莫泽（Moser）和他的同事的研究表明，当学生在数学中犯错误时，大脑活动就会发生，而当学生只做正确的任务时，大脑活动就不会发生。对于有成长心态的人来说，犯错误的行为会导致大脑特别显著的成长[4]。

（二）启示与教学实践

这意味着我们要允许学生在数学中犯错误，也要让学生学会悦纳和包容自己或同学的错误，并从错误中学习和成长。

在数学课上，若教师总是给一些简短的、封闭的任务，而这些任务使学生要么做对或要么做错，这对培养和保持学生的成长型心态是很不利的。PYP课程体系中明确提出要确保学生的学习具有趣味性、相关性、挑战性和重要性[5]。教学实践表明，除了营造充满启发的学习环境，我发现还可以从评估入手，前期评价是一种很好地提供学生展示已知和提供提出问题的机会的方式，使用KWL表、Wonder Wall、CIS表、前期测评等形式都可以帮助学生在学习新知识前与已知的知识、经验、生活建立联系，在探究过程中引导学生一再重温和修正，产生认知冲突或意识到错误时正是学生学习兴趣最浓、注意力最集中和内驱力最强的时候；设置富有挑战性的、开放性的任务也是会导致学生挣扎、经历认知冲突和犯错误的方式，当任务具有或鼓励以下情况时，任务就会变得更加开放和富有挑战性:任务/问题/观点具有多个切入点；具有多种观察方式；有多种解决方案的途径和策略。

此外，老师也可以从提问方面吸引学生探究的注意和引发学生的思考，如对于学生司空见惯的生活现象和事实提出疑问。学生举例说明了自然界和社会生活中形形色色的圆，如车轮平面轮廓采用的是圆形。老师便可以进一步提问：为什么是圆形？其他形状不行吗？为什么？若是其他形状，会怎样？学生开始可能觉得这些问题有点可笑，但也能够从采用圆形的乘车体验谈起，慢慢联系到所学习的同一圆的半径都相等的性质并进一步说明，最后学生便可尝试操作，绘制出采用圆、三角形、正方形、椭圆形等图形时车轮的不同形状的运动轨迹（如图1-5），更加深刻地分析问题，像数学家或科学家那样思考问题。

图1-5 “车轮平面轮廓为什么是圆形”

四．数学学习应该脱离速度

（一）来自神经科学的重要研究

来自神经科学的一个重要研究是，当数学成绩与速度联系在一起时，会造成损害。大多数人都有这样一个观念，即最好的数学学生是那些学习速度快的学生。若以速度快的学生是那些最有潜力的学生为评价标准，那么这意味着许多速度较慢但有深度的思考者对数学将敬而远之。正如数学家、菲尔兹奖得主施瓦茨在回忆录中描述的那样，高水平数学思维的标志是深入工作，而不是快速工作[6]。一种常见的教育做法是要求学生参加计时考试，现已证明，这些因素会导致大部分学生过早出现数学焦虑[7]。

贝洛克（Sian Beilock）和她的同事进行的脑部扫描显示，计时测试中使用的数学事实保存在工作记忆中[8]。一个人拥有的工作记忆越多，他们取得学业成功的潜力就越大[9]。贝洛克和同事们发现，当人们压力阻碍了他们的工作记忆，人们熟悉的事实也无法回忆起来。

（二）关于研究的启示与实践

图1-6是调查了IEP学部一年级至六年级学生关于“听到“数学测试”的感受”的统计，从图中可以看出数学水平高的学生多数的感受是“开心”和“无所谓”；越是数学水平低的学生越对计时测试感到“担心/害怕”和“抗拒”；在另一项“请描述一下你是怎样的数学学习者”的调查中有部分数学水平高的学生选择了“被动”，这表明其数学学习是来自于外部压力，如受父母给与的压力、期望和高要求，所以对于数学测试，他们的感觉是担心和害怕的；高年级学生随着对现实社会的认知的提升，对于数学测试的认识会有理性的一面，即社会在选拔上多数采用的方式都是计时测试，所以他们虽然也会担心、害怕，但没有抗拒的情绪。

图1-6 关于学生听到“数学测试”的感受的统计图 

在这一统计中，与这些填写了对测试产生担心或害怕情绪的学生交流后发现，他们的这种情绪多来自于父母的压力，父母比他们更加看重测试结果，并会针对认为不太好的结果进行比较简单、粗暴的改进措施，而他们只能被动接受。出于这样的体验，他们带着较大的压力进行测试，有时会经历大脑一片空白，无法回忆起平时本就很熟悉的数学知识。这就是压力对工作记忆的影响。当在限时条件下经历压力的学生发现他们不能联系起他们的工作记忆时，测试结果便不会理想，这导致他们质疑自己的数学能力，并在许多情况下产生进一步的压力和焦虑。

没有必要在数学课堂上鼓励速度。除了时间压力带来的压力，它很少鼓励学生快。相反，快的学生保持快，慢的学生保持慢，数学焦虑使学生变得更慢。计时测试以及其他与速度相关的材料表明，计时测试导致迟钝、深刻的数学思考者在课堂上受到阻碍[10]。

我们多数老师也会苦恼：学生最终都要参加计时考试，这种考试不可能做到让数学与速度脱离。我的理解是，计时的书面测试本就是一种评估手段，无需排斥。我们要做的是在学生学习中尽可能减少和消除时间给学生带来的焦虑、紧张、不安，甚至恐惧。这就要求我们要使用更加有效的教学手段和策略，让学生在轻松、具有心理安全的氛围中学习，根据调查数据统计，无论是何种数学水平的学生，他们都希望能在游戏中学习，并且他们对于评估方式也有更多的需要和选择偏好。

表1-7是调查了IEP学部一年级至六年级学生关于“能让老师知道你所知道和你对了解当前数学探究内容的最好方式是什么“的统计，从数据中可以看出，学生在展示自己已知和展示自己的理解的方式选择上是多样的，老师在布置具有挑战性和开放性任务时，可以提供和允许学生使用自己多种方式表达理解和应用理解。

表1-7 关于学生如何展示数学已知和理解的方式选择的统计图

续表1-4

关于学生如何展示数学已知和理解的方式选择的统计图

受限于教学课时和教学内容的要求，这种游戏绝非是简单的让学生应用所学习的内容玩乐一下，形式也不是仅限于让学生都动起来玩。在游戏中学习可以贯穿整个学习过程，用游戏的方式使各种数学水平的学生积极参与，如数学桌游、纸上游戏、“圆桌会议”、辩论、提前在教室环境中布置的数学谜题等，所有的游戏的重要目的都是服务于探究学习，学生在游戏中通过交流或自我研究，在老师的驱动问题下发现数学知识，并发现这一数学知识在游戏的应用，进而学生可以自己总结和归纳出有关的数学概念、相关技巧、算法和应用。经过自我探究过程的学习形成的记忆比听老师教授所形成的记忆要更加深刻，这也是为什么会出现老师课堂上讲的越多，而学生学得越少的怪圈现象，并且有多数学生本来就不是听觉型的学习者，学生天性爱玩，成人也一样。当然，游戏中要有时间限制，但这种时间压力与计时测试的压力截然不同，相反，有部分学生会因为游戏时间的限制而更加积极地寻求获胜的数学知识和数学技巧。图1-8是学生在学习比例时进行的卡片游戏，教室中张贴了一些卡片，学生需要在这些卡片中快速找到能够组成比例的几组卡片，用找到的卡片组成比例最多的同学获胜。在这一过程中学生自然而然应用“比值相等”和“内项积=外向积”进行寻找，善于思考的学生会发现有一些卡片上写着一个乘法算式或一个数字，于是在游戏结束时，以两个乘积相等的乘法算式或四个数字进行组成比例的学生不费太多时间便可得到四个比例，而其中的发现和思考是结合已知的比例概念和性质在游戏中进行的，并且通过分享和交流，其他学生也学会了这一内容。速度与智力没有确切的关系，重要的是深刻理解事物及其相互关系，这也是智慧的所在。

图1-5 学生在做有关“比例”学习的游戏

此外，对于每个单元的计时测试，也可以采取一定的手段弱化计时测试对数学学习的负面影响，这对于本就处于较低数学水平的学生的数学学习尤其重要，如弱化考试紧张氛围、关注错题而非分数或等级、注重学情分析并指定相应的策略等，同时差异化的教学可以让每个学生以自己的能力、数学水平、学习速度和学习风格取得进步，不断获得学习的成就感和进步的愉悦感，最终达到高的数学水平。

五．教师的信息非常强大

（一）教师的话语在塑造儿童潜能方面的力量

学生们经常从他们在学校和老师那里接收到的微妙和不那么微妙的信息中发展出关于他们自身潜力的想法。最近的两项研究清楚地表明了教师的话语在塑造儿童潜能方面的力量。

1.在一项研究中，研究人员将高中生分为两组。所有学生都写了一篇英语作文，并从老师那里得到了批评性的反馈，但有一半的学生（老师不知道他们是谁）得到了额外的一句话:“我给你这个反馈是因为我相信你。”接收这一反馈的学生在一年后的学校考试中取得了更高的成绩。这是一个惊人的结果，一句话就带来了长期和显著的成效。研究人员指出，这句话的影响既来自于教师对学生的信任反馈，也来自于提供的批判性的且有益的反馈，学生可以从中学到积极正面的影响：老师相信他们，这给了他们学习和成长的机会[11]。

2.德韦克（Dweck）和她的同事进行了一项实验，该实验显示了教师话语的力量，以及这些话语的影响速度。在他们的一个实验中，他们给孩子们一个任务去做。在任务结束时，一半的学生称赞为“聪明”,其他人则被称赞为努力工作。对于他们的下一个任务，孩子们可以在容易或困难的任务之间进行选择。 被称赞聪明的人90%选择了简单的任务，而大多数被称赞努力工作的人选择了困难的任务[12]。

（二）启示与实践

这些研究告诉我们，父母和老师都不能用称赞他们聪明这类固定的方式表扬孩子。当孩子们被告知他们是聪明的时候，他们通常感觉很好，但后来当他们在某些情况下失败时，每个人都会有“我没那么聪明“的想法，并不会理性地分析问题，找出原因。为使表扬更加有效，教师应尽可能及时地明确指出表扬的原因。学生年龄越小，表扬就应该越及时，在高年级阶段，大多数学生能够接受延迟表扬。实践表明，当我将表扬关注到学生行为时，这种表扬便可发挥正面强化学生积极行为的力量，例如：我看到了你在做作业时付出了努力；面对这样困难的问题，你都没有放弃；我为你的努力感到骄傲，你也应该为你为此付出的努力感到骄傲。在我们对学生关于“怎样的鼓励对你学数学最有帮助”的调查统计中，不同层次数学水平的学生都选择了“表扬”、“与父母分享”和“得到父母的认可”，在“怎样的学习反馈对你学习数学最有帮助”的统计中，绝大多数的学生选择了“指出不足，给出建议”。这些表明，学生期望得到老师、同学、父母的赞扬和认可，并希望得到帮助和建议以便取得进步，尤其是受到父母压力而学习数学且数学水平高的学生，更希望能得到父母的赞扬和认可，这在我与学生的谈话中也得到这样的信息。所以在进行家校沟通时，我们要积极反馈学生的进步并给与赞扬，也要引导家长能够给学生同样的赞扬和肯定。

在表扬时，老师要以真诚的态度、肯定的语气、微笑着描述出学生受到赞扬的具体行为，并给与最大的鼓励和表达出充分赞赏与支持；在给予表扬之后，鼓励学生利用这个机会进行反思可以帮助学生进一步认识到积极行为带来的正面结果，例如，使用“两个星星，一个愿望”,使学生的行为选择进入良性循环的状态。

结论

教师是学生的守梦人，为学生创造实现梦想的机会。在数学中，这始于相信所有

学生都能达到最高水平，还包括鼓励所有学生取得高成就的分组结构，为所有学生提供具有挑战性和趣味性的工作，为学生建立具有心理安全的学习环境和氛围，以及老师应用话语的力量驱动学生不断进步，如果我们能在数学教学中实现这些变化，并带领家长能够一起合作，则将会有更多的学生喜欢数学，达到更高的数学水平，培养和发展良好的数学学科素养。

参考文献

[1]Boaler（2013b）《数学课堂中的能力分组》.国际数学教育百科全书

[2] Burris，C.，Heubert，J.和Levin，H.(2006). 利用异质分组提高数学成绩.美国教育研究杂志，43（1），103-134

[3] Blackwell，L.S.，Trzesniewski，K.H.&Dweck，C.S.（2007）《智力的内隐理论预测青少年过渡期的成就:一项纵向研究和一种干预》.《儿童发展》78（1）.246-263

[4] Moser，J.S.，Schroder，H.S.，Heeter，C.，Moran，T.P，Lee，Y.-H.，2011.《 注意你的错误:增长心态与适应性错误后调整之间的神经机制的证据》.心理科学22.1484–1489

[5]小学项目的实施.国际初等教育课程框架.6-7

[6] Schwartz, L. (2001). A Mathematician Grappling with his Century.

[7] Boaler，J.（2012年7月3日）.计时考试与数学焦虑的发展.教育周

[8] Beilock, S. (2011) Choke: what the secrets of the brain reveal about getting it right when you have to . New York: Free Press.

[9] Engle, R. W. (2002). Working Memory Capacity as Executive Attention. Current Directions in Psychological Science.11. 19-23.

[10] Golinkoff, Hirsh-Pasek & Eyer.2004.Einstein Never Used Flashcards: How Our Children Really Learn - and Why They Need to Play More and Memorize Less. Rodale Books

[11] Yeager, D. S., Purdie-Vaughns, V., Garcia, J., Apfel, N., Brzustoski, P., Master, A., et al. (2013). Breaking the Cycle of Mistrust: Wise Interventions to Provide Critical Feedback Across the Racial Divide. Journal of Experimental Psychology: General.

[12] Mueller, C. & Dweck, C. (1998). Praise for intelligence can undermine children’s motivation and performance. Journal for Personality and Social Psychology. 75(1).33-52.